Летняя школа для учителей математики. Система задач с параметрами в учебно-методическом комплексе А. Г. Мерзляка
Разработки авторов корпорации «Российский учебник» помогают не только освоить программу, но и подготовиться к ключевым экзаменам. В рамках «Летней школы учителей МГУ» – 2019 наш ведущий методист по математике Татьяна Павлова представила новый УМК от коллектива А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир и продемонстрировала на его основе методику преподавания темы «Решение задач с параметрами».5 класс
Готовить учеников к задачам с параметрами можно уже с пятого класса. В учебнике А. Г. Мерзляка реализована пропедевтика по данной теме.
Примеры заданий
№275. Какое число надо поставить вместо а, чтобы корнем уравнения:
1) (х + а) – 7 = 42 было число 22;
2) (а – х) + 4 = 15 было число 3?
№276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:
1) (х – 7) + а = 23 было число 9;
2) (11 + х) + 101 = а было число 5?
6 класс
Ученикам предлагаются полноценные задания с параметрами, однако подробный разбор решений еще не представлен. От школьников требуется не исследовательский подход, а эвристическая догадка.
Примеры заданий
№1171. При каких значениях а уравнение не имеет корней:
1) ах = 1;
2) (а – 2) х = 3?
№1172. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения является целым числом:
1) ах = - 14;
2) (а – 2) х = 12.
№ 1173. Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом:
1) mx = 20;
2) (m + 3) x = - 18
7 класс
Уже со второго параграфа («Линейное уравнение с одной переменной») школьники осваивают исследовательский подход к решению заданий с параметрами. В учебнике показаны различные ситуации и способы действий. Учеников подводят к интерпретации полученных результатов и соответствующему анализу. В конце учебного года снова идет обращение к параметрам — в теме «Система линейных уравнений с двумя переменными».
Примеры заданий
№ 61. При каком значении а уравнение:
1) ах = 6;
2) (3 – а) х = 4;
3) (а – 2) х = а + 2
№ 63. При каких значениях а уравнение:
1) (а – 5) х = 6;
2) (а + 7) х = а + 7
№ 65. Решите уравнение:
(m + 8) x = m + 8.
№ 67. В равенстве 2 (1,5х – 0,5) = 7х + * замените звездочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:
1) не имело корней;
2) имело бесконечно много корней;
3) имело один корень.
8 класс
На данном этапе большинство тем уже имеет то или иное отношение к задачам с параметрами. Например, «Квадратные корни»: при обосновании того, почему квадратное уравнение x2=4 имеет два корня, авторы предлагают наглядный графический метод. Ученикам показывается, каким образом в дальнейшем они будут строить свои рассуждения при графическом способе решения задач. Чтобы школьники не просто познакомились с терминологией, а отработали такой подход, задания включены в учебник систематически. Так начинается подготовка к ЕГЭ — и это базовый уровень!
Примеры заданий
№ 649. При каком значении а уравнение (а — 2 ) х2 + (2а — 1) х + а2 — 4 = 0 является:
1) линейным;
2) приведенным квадратом;
3) неполным неприведенным квадратом;
4) неполным приведенным квадратом?
№ 650. Определите, при каком значении а один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:
1) х2 + ах + а – 4 = 0;
2) 4х2 + (а – 8) х + а2 + а = 0;
3) ах2 + (а + 3) х + а2 – 3а = 0.
№ 767. Для каждого значения а решите уравнение:
1) (а2 – а – 6) х = а2 – 9;
2) (а2 – 8а + 7) х = 2а2 – 13а – 7.
№ 768. Для каждого значения а решите уравнение (а2 + 7а – 8) х = а2 + 16а +64.
№ 796. Для каждого значения а решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
№ 797. При каких значениях а уравнение имеет единственный корень?
9 класс
Теперь параметр рассматривается в неравенствах и системах неравенств: от простого к сложному. Упражнения в учебнике А. Г. Мерзляка составлены таким образом, что они являются готовыми тренажерами для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Примеры заданий
№ 213. При каких значениях b множество решений системы неравенств
содержит ровно три целых числа?
№ 214. При каких значениях а наименьшим целым решением системы неравенств
является число 9?
№ 217. При каких значениях а корни уравнения х2 – (4а – 2) х + 3а2 – 4а + 1 = 0 принадлежат промежутку [-2; 8]?
№ 218. При каких значениях a один из корней уравнения 3х2 – (2а + 5) х + 2 + а – а2 = 0 меньше -2, а другой – больше 3?
Задачи с параметром в углубленном курсе
В учебниках А. Г. Мерзляка углубленного уровня реализован фундаментальный подход к изучению темы. Дано непосредственное понятие «параметр», чего нет в курсе базового уровня. Подробно рассматривается графический метод, чтобы ученикам не составило труда работать с системой координат, где значение параметра откладывается по оси ординат.
Приведем примеры разбора уравнения.
9 класс. Тема «Квадратичная функция, ее график и свойства»
При каких значениях параметра а модуль разности корней уравнения х2 – 6х + 12 + а2 – 4а = 0 принимает наибольшее значение?
Решение
Преобразуем данное уравнение: (х – 3)2 + (а – 2)2 = 1.
Его графиком в системе координат ха является окружность.
Если прямая а = а0 пересекает окружность в точках А и В, то модуль разности корней уравнения равен длине отрезка АВ. Следовательно, надо найти такое положение прямой а = а0, при котором хорда АВ имеет наибольшую длину. Это условие выполняется тогда, когда хорда АВ является диаметром окружности. Отсюда а = 2.
Следует отметить, что новые учебники по математике два года проходили апробацию в российских школах и получили положительные отзывы. Перейдите на платформу LECTA и воспользуйтесь промокодом 5books, чтобы бесплатно скачать 5 любых электронных учебников. Кроме того, на LECTA к УМК А. Г. Мерзляка есть бесплатные поурочные разработки с презентациями (математика 5 класс, 6 класс, алгебра 7 класс, 9 класс, геометрия 7 класс). Линейке посвящены многие наши вебинары.
#ADVERTISING_INSERT#