Опровергая Евклида: «воображаемая геометрия» Лобачевского
Почему XIX столетие называют «веком математики»? Зачем Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой»? И как открытие русского ученого изменило представление о пространстве? Об этом и не только – в нашем материале к неделе математики.«Век математики»
Вступление на престол императора Александра I (1801–1825) ознаменовало начало крупных преобразований в России. За министерской реформой, а также указом о вольных хлебопашцах, давшим толчок процессу освобождения крестьян, изменения постепенно приходили и в сферу образования. Так, по велению самодержца в 1804 году российские университеты получили новый устав.Принцип, положенный в основу этого устава, можно было выразить одним словом – автономия. Выборность ректора и профессуры, собственный суд, а также независимость от администрации – все это должно было позволить университетам развиваться как в сфере образования, так и в научной плоскости. Но не менее важно было и другое: в дополнение к уставу в России открывались новые учебные заведения.
Если Санкт-Петербург представал для Российской империи «окном в Европу», то Казань вполне можно было назвать «окном на Восток». Вполне естественно, что именно Казань, находившаяся на пересечении народов и культур, была выбрана в качестве места для нового университета. Важной специализацией учебного заведения стало изучение Азии – практически неизвестного до той поры европейцам мира. Впрочем, ключевую роль в Казанском, равно как и в других университетах, продолжали играть традиционные науки.
XIX столетие по праву считалось «веком математики». Логика, равновесие, «естественный порядок» вещей – принципы, которыми в то время руководствовались все ученые, вне зависимости от сферы своих интересов. Математика, самая «точная» из наук, давала им руководство к действию. Перефразируя известного немецкого философа Иммануила Канта, можно было сказать: в любой науке столько истины, сколько в ней математики.
Однако даже в столь «строгом» и упорядоченном мире находились те, кто бросал вызов устоявшимся представлениям. Те, кто заявлял: окружающий мир значительно сложнее, чем кажется на первый взгляд.
Казанский университет – альма-матер и место работы Николая Ивановича Лобачевского.
«Учащийся, профессор, ректор»
Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) родился в Нижнем Новгороде в семье чиновника. Рано лишившись отца, Лобачевский вместе с матерью и двумя братьями отправился в Казань. Семье нечем было платить за обучение детей. Однако Прасковье Александровне удалось устроить своих сыновей, бывших весьма способными учениками, в гимназию на казенное, т.е. государственное содержание.
Создание Казанского университета, открывшего двери в 1805 году, определило будущее Лобачевского. Научная карьера в начале XIX столетия не пользовалась большой популярностью у русского дворянства, предпочитавшей ей литературу. Лобачевский же, бывший разночинцем, стал сначала учащимся, а затем в достаточно молодом возрасте и профессором Казанского университета.
Внешность Лобачевского описывали так:
«Черный гладкий сюртук, на шее черная косынка с булавкой, на руках белые перчатки… Еще почти юноша, но глаза какие-то другие – строгие, пристальные, чуть-чуть печальные».
Портрет Н. И. Лобачевского, художник Крюков Лев Дмитриевич, 1839. Собрание Казанского университета.
Лобачевский известен как выдающийся математик, однако для учащихся университета он в первую очередь был замечательным педагогом. Читал свои лекции Николай Иванович не торопясь, обстоятельно и ясно. Задача была не только описать, но и разъяснить любую формулу или положение.
В 1827 году, в соответствии с уставом Александра I, Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Данный пост Николай Иванович занимал на протяжении почти 20 лет. За это время университет превратился в одно из крупнейших учебных заведений страны: завершено строительство университетского комплекса, включавшего анатомический театр, химические корпуса и библиотеку; укреплена связь другими гимназиями, в которых, по настоянию ректора, вводились «литературные беседы» – для большего успеха в преподавании русского языка.
Здание библиотеки Казанского университета, построенное в период ректорства Лобачевского.
И все же наибольшую известность Лобачевскому принесли его достижения в науке.
«Неевклидова геометрия»
«Геометрия» (буквально – «измерение земли») – раздел математики, известный еще со времен античности. Греческая культура во многом заложила основы геометрии, что по сей день преподаются в школах и университетах. Важную роль в этом сыграли работы Евклида Александрийского, чья научная деятельность проходила в городе, основанном известным греческим завоевателем. Основываясь на опыте других античных математиков, александриец представил миру около 300 года до нашей эры труд под названием «Начала».В «Началах» Евклид выдвинул важнейшие постулаты геометрии:
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
Постулаты геометрии, описанные Евклидом в «Началах». Пятый – самый сложный из них, представлен в трактовке греческого математика, а также в упрощенном варианте.
Все эти положения были предельно понятны, идеальны и не требовали доказательств. Этого, однако, нельзя была сказать о пятом постулате:
«И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Столь сложное определение невольно наводило на мысль, что Евклид дал его специально, дабы математики стремились доказать его правоту. В более современном и упрощенном варианте пятый постулат может быть интерпретирован следующим образом:
«Через точку, расположенную вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной»
Более 2 тысяч лет этот постулат не давал покоя исследователям. Выдвигая все новые его доказательства, математики всякий раз находили противоречие в собственных суждениях. С этой проблемой столкнулся и Николай Иванович Лобачевский, пока не пришел к совершенно противоположному выводу:
«Через точку, не лежащую на данной прямой, могут проходить две и более прямых, параллельных данной».
Свое заключение Лобачевский представил в 1826 году в Казани на заседании физико-математического факультета. Сегодня геометрию, предложенную математиком, принято называть «неевклидовой». Сам же Лобачевский подобрал для своего открытия иное наименование – «воображаемая».
«Воображаемая геометрия» Лобачевского. Через точку M можно провести сразу несколько прямых, не пересекающих прямую D.
Название было выбрано неслучайно. Геометрия Лобачевского описывала не плоское пространство, привычное математикам со времен Евклида, а пространство гиперболическое. Прямыми здесь, как это ни странно на первый взгляд, являются кривые, расположенные на поверхности модели или фигуры. Представить такую «искривленную плоскость» в окружающем мире было достаточно сложно. Именно поэтому математик обратился к собственному воображению.
Геометрия Лобачевского буквально обрушивала многие привычные науке представления, формулы и положения. К примеру, если в «евклидовой геометрии» сумма углов треугольника равна 180°, то в гиперболическом пространстве эта сумма всегда меньше указанного значения. Традиционные законы и простота вещей сводились в этом случае на нет.
В гиперболическом пространстве сумма углов треугольника меньше 180°.
«Коперник геометрии»
Взгляды Лобачевского оказались совершенно непонятны современникам. Некоторые из них в насмешку называли математика «воображаемым профессором». Лишь немногие исследователи в то время задумывались о существовании «неевклидовой геометрии». Вскоре после Лобачевского к схожим выводам пришли венгерский математик Янош Бойяи, а также немец Карл Фридрих Гаусс, рекомендовавший избрать Николая Ивановича член-корреспондентом Геттингенского научного общества.Неприятие идей Лобачевского было вызвано сложившейся в XIX веке «научной картиной мира». Начиная с Исаака Ньютона, пространство, равно как и время, представлялось в качестве абсолютного и единого для всей Вселенной. Этому куда больше соответствовали постулаты Евклида, чем положения Лобачевского. В мире, где ученые привыкли устанавливать строгие законы, точно измерять и наблюдать все «собственными глазами», не было место «воображаемой геометрии».
Открытие Лобачевского было должным образом оценено только с наступлением XX столетия. В это время классические представления о науке, ее методах и задачах претерпевали большие изменения. Ученым стало понятно, что окружающий мир невозможно изобразить только с помощью «евклидовой геометрии». Этот мир значительно сложнее и не может быть сведен к простой и единственной модели.
Николая Ивановича Лобачевского принято называть «Коперником геометрии». Как известно, труды польского астронома позволили Кеплеру и Галилею совершить прорыв в изучении космоса. «Воображаемая геометрия» со временем также помогла изменить представление о Вселенной и привести ученых к новым открытиям. Например, теории относительности Альберта Эйнштейна.