ЕГЭ-2019 по математике (профильный уровень). Задание 19

Задание

На доске записан ряд натуральных чисел a₁, a₂, ..., an (где n ≥ 7 ). Сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из данного ряда равна 100.

а) Может ли на доске быть записано 35 чисел?

б) Может ли на доске быть записано 50 чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть в ряду?

Решение

а) Если 35 чисел сгруппировать по 7 чисел, то получится 5 групп, причем сумма чисел каждой группы не превосходит 14. Следовательно, сумма всех 35 чисел, не превосходит 70. Значит 35 чисел записать нельзя.

б) Ряд из пятидесяти двоек удовлетворяет условиям задачи.

в) Предположим, что на доске записано не больше 49 чисел. Тогда ряд чисел можно разделить на группы, в каждой из которых не более 7 элементов. Таких групп будет не более 7. Значит и сумма всех чисел не более 98. Противоречие. Ответ: нет.